Analýza šíření epidemických nemocí pomocí simulace

Za dobu své existence muselo lidstvo čelit již mnohým epidemiím, mnohdy daleko smrtelnějším než je současná pandemie viru SARS-CoV-2. Série opatření, která v dnešních dnech zavádí vlády takřka po celém světě, tak není pouhou improvizací. Za jejich existenci vděčíme zkušenostem předchozích generací. Mnohá opatření se dokonce příliš neliší od postupů používaných v boji proti dýmějovému moru, který sužoval Evropu v polovině 14. století a zredukoval tehdejší evropskou populaci asi o třetinu. Samotné slovo karanténa pochází právě z tohoto období. Konkrétně pochází od Benátčanů, kteří umožňovali cizincům vstoupit do města až po uplynutí čtyřicetidenní izolace („quaranta“ = italsky čtyřicet).

Historie nám však také ukazuje, že zavedení restriktivních opatření v nevhodný čas nebo při nesprávné chorobě může skončit katastrofou. V roce 1665 byl dýmějový mor zavlečen do vesnice Eyam v Anglii. Mor ve vesnici řádil více než rok a ve výsledku zredukoval místní populaci z 350 na pouhých 83. Místní představitel církve v obavách ze šíření nemoci poradil obyvatelům preventivní karanténu. Primárním zdrojem nákazy ale byly krysy. Lidé tak byli zavřeni doma s infekčními zvířaty a až v uzavřeném prostředí se nemoc začala sekundárně šířit také z člověka na člověka. Výsledkem byla smrtnost mnohem vyšší než v Londýně, kde izolovali pouze lidi, kteří již byli infikováni.

Předpovídat průběh epidemie a vliv jednotlivých opatření se epidemiologové naučili kvantifikovat až v 18. století. Francouzský matematik Daniel Bernoulli za pomocí matematického modelu prezentoval před Královskou akademií věd kladný vliv očkování na šíření této smrtelné nemoci. Jednalo se o jeden z prvních kompartmentových modelů použitých v souvislosti s epidemiologií a položil tak základy pro zcela nový obor nazvaný matematická epidemiologie. Na Bernoulliho, který se již více epidemiologickým modelům nevěnoval a jeho jméno je spíše spojováno s hydrodynamikou, navázali R. Ross a především A. G. McKedrick s W. O. Kermackem. Dnešní matematické modely šíření infekčních onemocnění nám pomáhají odpovědět na základní otázky:

• Jak vážné je riziko epidemie?
• Kolik lidí bude nemocí zasaženo
• Co je nejefektivnější prevencí: karanténa, nebo vakcinace?

Jednou z variant Kermack-McKendrickova modelu je tzv. SIR model. Jako v Bernoulliho případě, také se jedná o kompartmentový model, ale mnohem obecnější, použitelný pro širokou škálu infekčních nemocí. Pracuje celkem se třemi skupinami obyvatelstva: S (Susceptible) – doposud zdravá avšak náchylná část populace, I (Infected/Infec­tious) – nakažení a tedy infekční, R (Recovered/Re­moved) – uzdravení se získanou imunitou a zemřelí. Obecná podoba modelu je následující:

Zdraví (S) se stávají nemocnými, nebo zůstávají nenakažení. Nemocní (I) se po čase zotaví a stanou se imunními, nebo zemřou a nemoc již dále nešíří. Model lze rozšířit i pro další situace. Zavedením vakcinace se mohou lidé přesunout ze skupiny S rovnou mezi imunní ( R). Při karanténě se zase sníží počet nově nakažených.

COMSOL Multiphysics je jedním z nejpoužívanějších FEA software na světě a dodává výpočetní řešení do téměř všech oblastí průmyslu. Méně známou informací je, že umožňuje snadno řešit vlastní algebraické a diferenciální rovnice. Lze jej proto dobře použít i pro implementaci a řešení SIR modelu.

Jak implementovat SIR model do COMSOL Multiphysics

Pro výpočet jsme použili rozhraní „Global ODEs and DAEs“ pracující s tzv. stavovými proměnnými. To se mimořádně hodí i pro implementaci epidemiologického modelu, kde se frakce populace „přelévá“ z jednoho stavu do druhého. Pro implementaci jsme si zvolili matematický kompartmentový model SEIR, který navíc počítá i s inkubační dobou, před propuknutím nemoci. Rovnice pro jednotlivé proměnné pak vypadají následovně:

Rychlost šíření nákazy je závislá na parametru β, který je převrácenou hodnotou periody potřebné k přenosu nemoci z jednoho člověka na druhého. Pro současnou pandemii viru SARS-CoV-2 je typická vysoká virulence. Tento parametr je rozdílný stát od státu a mění se i v průběhu pandemie, podle povahy zaváděných opatření. V našem modelu jsme uvažovali β = 1,75. Parametr α vyjadřuje převrácenou hodnotu inkubační doby, která se odhaduje na 5–6 dnů. A konečně, dobu do zotavení definujeme pomocí γ. Poměr β a γ vyjadřuje tzv. reprodukční číslo, R₀ = β/γ. Rovnice (5) je okrajovou podmínkou, kdy se populace v průběhu šíření nemoci nemění. Běžně se do modelu zahrnuje i standardní porodnost a úmrtnost. Zde jsme tento faktor zanedbali, protože jeho vliv na dynamiku šíření choroby je minimální.

Námi implementovaný matematický model zároveň predikuje vliv zaváděných omezení pohybu osob a zvyšování sociální distance. Parametr r vyjadřuje tato restriktivní opatření, od mírnějších (zavírání obchodů, škol a muzeí a galerií), až po zákaz vycházení. Kýženým výsledkem je snížení a posunutí amplitudy výskytu viru v populaci, čímž se významně ulevuje přetíženému zdravotnímu systému, viz Obr. 2.

Totožný matematický model použila i Světová zdravotnická organizace „WHO“ pro predikci šíření viru v ohnisku nákazy, čínském Wu-chanu. Ten navíc zahrnoval parametry vyjadřující pohyb osob do a ze zasažené oblasti. Výpočetní možnosti COMSOL Multiphysics lze použít i k detailnějšímu mapování šíření nemoci v prostoru. Vytvořit takový model lze například pomocí modifikace Fourierovy rovnice šíření tepla.

Vyzkoušejte si COMSOL Multiphysics a tvorbu SEIR modelu

Připravili jsme pro Vás návod obsahující patnáct podrobně popsaných kroků vedoucích k nasimulování průběhu epidemie modelem SEIR od začátku až po export grafu. Nastavení by nemělo zabrat více jak 30 minut času a je vhodné i pro ty, kteří s COMSOL Multiphysics nikdy nepracovali. Jednoduše nás požádejte o zkušební licenci a my Vám zašleme instalační passcode doplněný o manuál.